组合数学 - 从n个球中取m个

Sun, 10 Jul 2022 11:52:00 +0800

UPD: 2025-07-13

不放回（无重排列组合）

有序

$$P_n^m$$

无序

$$C_n^m$$

放回（可重排列组合）

有序

一个一个取，每步可以有$n$种选择，乘法原理： $$n \times n \times n \times…\times n\ = n^m$$

无序

可重组合，可记作： $\bar{C}_n^m$（c bar n m)， $H_n^m$。

重点：隔板法

从$n$元集中可重复的选取$m$个元素，则方程$x_1 + x_2 + x_3 + … + x_n = m$的非负整数解的个数就是可以选的方式的总个数。那么我们可以把这个问题看成在$m$个元素中插入$n-1$个分隔符，每段中是一种元素，就是在$n+m-1$个位置中选取$n-1$个放分隔符，也是$n+m-1$个位置中选取$m$个不放分隔符，就可以用无重组合的方式表示可重组合： $$C_{n+m-1}^{m}$$

无序，每种至少选一个

可重组合的变形，仍使用隔板法。

这次每种至少选一个的使得两个隔板不能放在一起，位置数减小到了$m - 1$，所以答案就是： $$C_{m-1}^{n-1}$$

组合数学 on 分而治之

组合数学 - 从n个球中取m个

不放回（无重排列组合）

有序

无序

放回（可重排列组合）

有序

无序

无序，每种至少选一个