分数版杨辉三角

比如说像：

1
2
3
4

       1/4
    1/4   1/4
1/4    2/4   1/4
...

这一类的。

我们已知它的特性有：

• 一行的和是上一行的2倍（不含第一行）
• 一个数是上面两个数的和（没有一个就等于另一个，第一个除外）

其实还可以发现更多。

杨辉三角

科普一下

杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。在欧洲，帕斯卡（1623—-1662）在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的发现比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。

杨辉三角是中国数学史上的一个伟大成就。

用途及其特性

• 每个数等于它上方两数之和。
• 每行数字左右对称，由$1$开始逐渐变大。
• 第$n$行的数字有$n$项。
• 前$n$行共$\frac{(1+n)n}{2}$个数。
• 第$n$行的$m$个数可表示为$C_{n-1}^{m-1}$，即为从$n-1$个不同元素中取$m-1$个元素的组合数。
• 第n行数字的和为$2^{n-1}$。 $$1=2^{1-1}$$ $$1+1=2^{2-1}$$ $$1+2+1=2^{3-1}$$ $$1+3+3+1=2^{4-1}$$ $$1+4+6+4+1=2^{5-1}$$ $$1+5+10+10+5+1=2^{6-1}$$
• 斜线上数字的和等于其向左（从左上方到右下方的斜线）或向右拐弯（从右上方到左下方的斜线），拐角上的数字。 $$1+1=2$$ $$1+1+1=3$$ $$1+1+1+1=4$$ $$1+2=3$$ $$1+2+3=6$$ $$1+2+3+4=10$$ $$1+3=4$$ $$1+3+6=10$$ $$1+4=5$$
• 将各行数字左对齐，其右上到左下对角线数字的和等于斐波那契数列的数字。 $$1$$ $$1$$ $$1+1=2$$ $$2+1=3$$ $$1+3+1=5$$ $$3+4+1=8$$ $$1+6+5+1=13$$ $$4+10+6+1=21$$ $$1+10+15+7+1=34$$ $$5+20+21+8+1=55$$