杨辉三角

惊!一个三角形竟有1000年的历史

分数版杨辉三角

比如说像:

1
2
3
4
       1/4
    1/4   1/4
1/4    2/4   1/4
...

这一类的。

我们已知它的特性有:

  • 一行的和是上一行的2倍(不含第一行)
  • 一个数是上面两个数的和(没有一个就等于另一个,第一个除外)

其实还可以发现更多。

杨辉三角

科普一下

杨辉三角,是二项式系数在三角形中的一种几何排列,中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。在欧洲,帕斯卡(1623—-1662)在1654年发现这一规律,所以这个表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的发现比杨辉要迟393年,比贾宪迟600年。

杨辉三角是中国数学史上的一个伟大成就。

科普一下
中文名杨辉三角
外文名Pascal’s Triangle
别名贾宪三角形、帕斯卡三角形
提出时间约1050年
发现者杨辉

用途及其特性

  • 每个数等于它上方两数之和。
  • 每行数字左右对称,由$1$开始逐渐变大。
  • 第$n$行的数字有$n$项。
  • 前$n$行共$\frac{(1+n)n}{2}$个数。
  • 第$n$行的$m$个数可表示为$C_{n-1}^{m-1}$,即为从$n-1$个不同元素中取$m-1$个元素的组合数。
  • 第n行数字的和为$2^{n-1}$。 $$1=2^{1-1}$$ $$1+1=2^{2-1}$$ $$1+2+1=2^{3-1}$$ $$1+3+3+1=2^{4-1}$$ $$1+4+6+4+1=2^{5-1}$$ $$1+5+10+10+5+1=2^{6-1}$$
  • 斜线上数字的和等于其向左(从左上方到右下方的斜线)或向右拐弯(从右上方到左下方的斜线),拐角上的数字。 $$1+1=2$$ $$1+1+1=3$$ $$1+1+1+1=4$$ $$1+2=3$$ $$1+2+3=6$$ $$1+2+3+4=10$$ $$1+3=4$$ $$1+3+6=10$$ $$1+4=5$$
  • 将各行数字左对齐,其右上到左下对角线数字的和等于斐波那契数列的数字。 $$1$$ $$1$$ $$1+1=2$$ $$2+1=3$$ $$1+3+1=5$$ $$3+4+1=8$$ $$1+6+5+1=13$$ $$4+10+6+1=21$$ $$1+10+15+7+1=34$$ $$5+20+21+8+1=55$$