BIT 中 Binary 是形容 Index 的，不是形容 Tree 的。
树状数组
树状数组是一种支持单点修改和区间查询的代码量较小的数据结构。树状数组能解决的问题是线段树能解决的问题的子集，也就是说树状数组能解决的问题线段树一定能解决，线段树能解决的问题树状数组不一定能解决。
常规情况下用树状数组的前提条件：存储的信息和运算方法要支持结合律和可差分。
可差分：有逆运算。
当然，例如 $\max$ 等不可差分运算，树状数组只能支持前缀查询。
引入
举个例子，我们想知道 $a[1] + a[2] + \cdots + a[7]$ 的前缀和。
普通的做法是：直接将 $7$ 个数求和。
树状数组的做法是：将一段前缀 $[1, n]$ 分割成不超过 $\log n$ 段区间，并通过一些预处理使得每段区间的和都可以 $O(1)$ 地求出。于是，我们就成功地缩减了问题规模。
管辖区间
下图展示了树状数组的工作原理：
不难发现，$c[i]$ 管辖 $[i - lowbit(i) + 1, i]$ 这段区间。
lowbit(x) 是指 x 在二进制下最低的 1 及其后面的 0，根据二进制反码相关知识可以推导出较为简单的计算方法：lowbit(x) = x & -x。
前缀（区间）查询
为了不重不漏的拆分前缀区间，每次向前“跳”的时候一定是要“跳”到当前区间的左端点的左一位作为新区间的右端点，根据刚刚提到的管辖区间可得新右端点应为 $i - lowbit(i)$。
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int query(int x) {
int res = 0;
for (int i = x; i >= 1; i -= lowbit(i)) res += c[i]; // 此处运算方法根据题意替换；看个人习惯，for循环可写作while循环
return res;
}
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注意第 3 行不要写成 i -= lowbit(x)
根据前缀和的原理，只要运算方法是可差分的，可以前缀查询就是可以区间查询。
单点修改
在进行单点修改时，只需遍历所有管辖 $a[i]$ 的 $c[x]$。由于 $c[i]$ 被 $c[i + lowbit(i)]$ 直接管辖，我们就可以直接通过这种方式来遍历所有需要修改的 $c[x]$。
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void update(int x, int val) {
for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) c[i] += val; // 根据题意替换；可写作while循环
}
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建树
最简单的方法是直接替换成 $n$ 次单点修改，复杂度 $O(n \log n)$。
也可以 $\Theta (n)$ 建树，方法很多，这里介绍一种：
既然 $c[i]$ 表示的区间是 $[i - lowbit(i) + 1, i]$，我们就可以 $\Theta (n)$ 建立一个前缀和数组，再通过前缀和求区间和的方法写入 $c$ 数组。
复杂度分析
时间复杂度：
空间复杂度：$O(n)$
参考代码
P3374 【模板】树状数组 1
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#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 5e5 + 10;
LL a[N], c[N];
int n, m;
inline int lowbit(int x) { return x & -x; }
void update(int x, LL val) {
while (x <= n) {
c[x] += val;
x += lowbit(x);
}
}
LL query(int x) {
LL res = 0;
while (x > 0) {
res += c[x];
x -= lowbit(x);
}
return res;
}
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> a[i], update(i, a[i]);
while (m -- ) {
int op;
cin >> op;
if (op == 1) {
int x; LL k;
cin >> x >> k;
update(x, k);
} else if (op == 2) {
int x, y;
cin >> x >> y;
cout << query(y) - query(x - 1) << endl;
}
}
return 0;
}
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Luogu P3368. 树状数组 2
P3368 【模板】树状数组 2
题意
区间修改，单点查询。
分析
我们可以通过差分算法将区间修改转化为单点修改，同时单点查询变为区间查询，树状数组秒了。
参考代码
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#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 5e5 + 10;
LL a[N], s[N];
LL c[N];
int n, m;
inline int lowbit(int x) { return x & -x; }
void update(int x, LL val) {
while (x <= n) {
c[x] += val;
x += lowbit(x);
}
}
LL query(int x) {
LL res = 0;
while (x > 0) {
res += c[x];
x -= lowbit(x);
}
return res;
}
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> a[i];
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) s[i] = a[i] - a[i - 1];
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
update(i, s[i]);
}
while (m -- ) {
int op;
cin >> op;
if (op == 1) {
LL x, y, k;
cin >> x >> y >> k;
update(x, k);
update(y + 1, -k);
} else if (op == 2) {
int x;
cin >> x;
cout << query(x) << endl;
}
}
return 0;
}
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