从n个球中取m个

走进小乒乓球的组合之旅

不放回(无重排列组合)

有序

$$P_n^m$$

无序

$$C_n^m$$

放回(可重排列组合)

有序

一个一个取,每步可以有$n$种选择,乘法原理: $$n \times n \times n \times…\times n\ = n^m$$

无序

可重组合,可记作: $\bar{C}_n^m$(c bar n m), $H_n^m$。

重点:隔板法

从$n$元集中可重复的选取$m$个元素,则方程$x_1 + x_2 + x_3 + … + x_n = m$的非负整数解的个数就是可以选的方式的总个数。那么我们可以把这个问题看成在$m$个元素中插入$n-1$个分隔符,每段中是一种元素,就是在$n+m-1$个位置中选取$n-1$个放分隔符,也是$n+m-1$个位置中选取$m$个不放分隔符,就可以用无重组合的方式表示可重组合: $$C_{n+m-1}^{m}$$

无序,每种至少选一个

可重组合的变形,仍使用隔板法。

这次每种至少选一个的使得两个隔板不能放在一起,位置数减小到了$m - 1$,所以答案就是: $$C_{m-1}^{n-1}$$