数学 on 分而治之

用数学期望计算区间内整数各数位的和的和

Sun, 24 Aug 2025 13:07:00 +0800

问题

$[0, n)$ 中的数的数位和的和是多少？

保证：$n = p \times 10^q$，$p, q$ 为正整数。即 $n$ 是 $x999\dots$ 的形式。

例如：$[0, 20)$ 中数的数位和的和是 $0 + 1 + 2 + 3 + \dots + 9 + (1 + 0) + (1 + 1) + (1 + 2) + \dots + (1 + 9) = 100$。

用数学期望算

将 $n$ 这个数的首位和其他位分开，记 $n$ 的位数为 $l$。

假设所有在原区间内地数都是 $l$ 位的，若不足 $l$ 位的数，在前面补 $0$。这一操作并不影响结果。

先讨论除首位外的其他位，观察上图我们发现，这些位的值在 $0$ 到 $9$ 之间均匀地分布，所以可以计算每一位的数学期望为 $4.5$。又因为统计数位和的区间包括了 $n$ 个数，总共存在 $n \times (l - 1)$ 个数位，所以这一部分的数位和为 $4.5 \times n \times (l - 1)$。

再讨论首位，设首位值为 $d_1$，相似地，可以证明第一位的值在 $0$ 到 $d_1$ 之间均匀分布，所以首位数学期望为 $\frac{d_1}{2}$。因此首位数位和为 $\frac{d_1}{2} \times n$。

上面两式相加即为 $[0, n)$ 中数的数位和的和。

波兰表示法与逆波兰表示法

Sat, 10 Aug 2024 10:31:00 +0800

算术形式

表达“三与四相加”时，前缀记法（即波兰表达式）写作 +34，中缀记法写作 3+4，后缀记法（即逆波兰表达式）写作 34+。中缀表达式 (1-2)*3 的前缀记法为 *-123，后缀记法为 12-3*。

请注意，逆波兰表达式不是把波兰表达式反转。

运算波兰表达式时，无需记住运算的层次，只需要直接寻找第一个运算的操作符。以二元运算为例，从左至右读入表达式，遇到一个操作符后跟随两个操作数时，则计算之，然后将结果作为操作数替换这个操作符和两个操作数；重复此步骤，直至所有操作符处理完毕。

逆波兰表达式的解释器一般是基于堆栈的。解释过程一般是：操作数入栈；遇到操作符时，操作数出栈，求值，将结果入栈；当一遍后，栈顶就是表达式的值。

由于简单运算符都是二元的，所以波兰表达式与逆波兰表达式不需要括号。

例子

前缀表达式

  - / * + 5 7 3 6 4
= - / * 12    3 6 4
= - / 36        6 4
= - 6             4
= 2

  + - 6 * 4 5 2
= + - 6 20    2
= + -14       2
= -12

后缀表达式

  5 7 + 3 * 6 / 4 -
= 12    3 * 6 / 4 -
= 36        6 / 4 -
= 6             4 -
= 2

  6 4 5 * - 2 +
= 6 20    - 2 +
= -14       2 +
= -12

组合数学 - 从n个球中取m个

Sun, 10 Jul 2022 11:52:00 +0800

UPD: 2025-07-13

不放回（无重排列组合）

有序

$$P_n^m$$

无序

$$C_n^m$$

放回（可重排列组合）

有序

一个一个取，每步可以有$n$种选择，乘法原理： $$n \times n \times n \times…\times n\ = n^m$$

无序

可重组合，可记作： $\bar{C}_n^m$（c bar n m)， $H_n^m$。

重点：隔板法

从$n$元集中可重复的选取$m$个元素，则方程$x_1 + x_2 + x_3 + … + x_n = m$的非负整数解的个数就是可以选的方式的总个数。那么我们可以把这个问题看成在$m$个元素中插入$n-1$个分隔符，每段中是一种元素，就是在$n+m-1$个位置中选取$n-1$个放分隔符，也是$n+m-1$个位置中选取$m$个不放分隔符，就可以用无重组合的方式表示可重组合： $$C_{n+m-1}^{m}$$

无序，每种至少选一个

可重组合的变形，仍使用隔板法。

这次每种至少选一个的使得两个隔板不能放在一起，位置数减小到了$m - 1$，所以答案就是： $$C_{m-1}^{n-1}$$